在科学研究上一定要树立攀登科学高峰的雄心壮志。没有雄心壮志的人，他们的生活缺乏伟大的动力，自然不能盼望他们会有杰出的成就。并不是说，搞尖端科学研究，搞发明创造才需要雄心壮志，搞一般的工作就不需要雄心壮志。任何工作都可以精益求精，所谓“行行出状元”，没有雄心壮志的人，是不可能主动地把工作搞得很出色的。
雄心壮志并不是好高鹜远、急躁速成，它和空想不同之处在于：有周密的计划--脚踏实地安排好实现计划的具体步骤。使我们通过努力，能一步步地接近目标。
我始终认为：天才是“努力”的充分发挥。惟有学习，不断地学习，才能使人聪明；惟有努力，不断地努力，才能出现才能。 我始终认为：天才是“努力”的充分发挥。
科学上的发现都是日积月累长期辛勤思考的结果。我们在平时是否经常思考问题，在解决科学研究的重大问题时，是会明显地见出高低的。
对于一个科学家来说，失败和成功比较起来，失败是经常的，而成功是少量的。科学研究的过程，是曲折上升的过程，在这中间，经常会出现这样的情况，就是眼看要成功了，但又失败了。眼看已经失败了，但经过一翻的深思苦想以后，又是“柳暗花明又一村”，呈现了希望。
科学的灵感，决不是坐待可以等来的。如果说，科学上的发明有什麽偶然的机遇的话，那麽这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给那些善于思考的人，给那些具有锲而不舍的精神的人，而不会给懒汉。
研究工作的几种境界
——照葫芦画瓢的模仿，模仿性的工作，实际上就等于做一个习题。当然做习题是必要的。但是一辈子做习题而无创造又有什麽意思呢？
——利用成法解决几个新问题。这个比前面就进了一步，但是我们在这个问题上也应区别一下。直接利用成法也和做习题差不多。而利用成法，又通过一些修改，这就走上搞科学研究的道路了。
——创造方法解决问题。这就更进了一步。创造方法是一个重要的转折，是自己能力提高的重要表现。
——开辟方向。这就更高了，开辟了一个方向，可以让后人做上几十年，上百年。这对科学的发展来讲就是有贡献。
我是粗略地分为以上这四种，实际上数学还有许多特殊性的问题。像著名问题你怎样改进它，怎样解决它，这在数学方面一般也是受到称赞的。在20世纪初希尔伯特提出了23个问题，这许多问题，有些会对数学的本质产生巨大的影响。
研究工作要“攻得进去，还要打得出来”。“世界上有不少数学家攻是攻进去了，但是进了死胡同就出不来了，这种情况往往使其局限在一个小问题里，而失去了整个时间”。做研究还要知道“取法于上得其中，取法于中得其下”的道理。
不急不躁，细嚼慢咽。
首先应当提出的是不急不躁，细嚼慢咽。一步不懂不轻易走下一步，每一方法都力求运用熟练。读十本八本，不甚了解，反不如把一本书从头到尾读得精通烂熟。所谓烂熟不只是会背会算，而是能掌握基本精神、基本原理，能够灵活运用，并且必须注意它的连贯性，依照深浅，一本一本地学习下去。 “要有速度，还要有加速度。”
“要有速度，还要有加速度。”
50年代中期，数学研究所中已经有不少年轻人作出较好的结果的，在他们中间滋长着自满情绪，或在同一水平上不断写论文的倾向，华罗庚语重心长地说：“要有速度，还要有加速度。”所谓“速度”就是要出成果，所谓“加速度”就是成果的质量要不断提高。
